Свойства и операции над множествами

Объединение двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А или множеству В. Обозначение: АВ.

АВ={x| хА  или хВ}.

Пересечение двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А и множеству В. Обозначение: АВ.

АВ={x| хА  и хВ}.

Разность двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Обозначение: А \ В.

А \ В={x| хА  и хВ}.

Обычно элементы множеств выбираются из некоторого достаточно широкого множества U, которое называется универсум. В связи с этим понятием можно ввести операцию дополнение.

Дополнением множества А называется множества, которое состоит из элементов универсума, не принадлежащих множеству А. Обозначение: .

=U \ A  или ={x| хА  и хU}.

Пример: U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6}.

АВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}      АВ = {2, 4}      А \ В = {1, 3, 5}

В \ А = {6}                           = {6, 7}            = {1, 3, 5, 7}

Для наглядного изображения соотношений между множествами и изображения результатов операций над множествами используют диаграммы Эйлера.

Пример:

     BA              АВ                         АВ                      А \ В

Свойства операций над множествами.

1.     Идемпотентность пересечения, объединения.

                                                            АА = А                      АА = А

2.     Коммутативность пересечения, объединения.

АВ = ВА                         АВ = ВА

3.     Ассоциативность пересечения, объединения.

(АВ)  С = А (В  С)                      (АВ)  С = А  (В  С)

4.     Законы поглощения.

(АВ) А = А                      (АВ) A = А

5.     Свойства пустого множества.

А  =                              А = А

6.     Свойства универсума.

А U = A                     АU = U

7.     Инволютивность.

  = А

8.     Законы де Моргана.

9.     Свойства дополнения.

А  =                              А = U

10.           Выражения для разности.

А \ В = А     

Назад  В начало  Далее