Вторник, 07.05.2024, 06:54
Дискретная математика
Примеры решения задачЦель изучения логики состоит в том, чтобы обеспечить средствами для доказательствами логической обоснованности выводов одних утверждений из других. Для таких обоснований нередко поледным оказывается применение алгебры высказываний. Проиллюстрируем применение алгебры высказываний на примере двух задач. Задача 1. Кто изучал логику? На вопрос, кто из трех учащихся - Антон, Борис или Виктор - изучал логику, учитель, преподававший логику, ответил: "Если логику изучал Антон, то изучал и Боря, но наверное, что если изучал Витя, то изучал и Боря". Кто же изучал, а кто не изучал логику?
Решение. Обозначим буквой А высказывание "Антон изучал логику" , буквой В высказывание "Борис изучал логику", буквой С высказывание "Виктор изучал логику". Тогда высказывание учителя можно записать так:
 . Преобразуем эту запись, освободившись от скобок: Поскольку утверждение учителя мы, конечно, принимаем за истинное, истинными должны быть и утверждения не А, не В и С. Следовательно, утверждение А ложно, утверждение В тоже ложно, а утверждение С истинно. Значит, логику изучал Виктор, а Антон и Борис логику не изучали.
Задача 2. Вердикт суда. Гражданин Иванов обвиняется в совершении преступления при соучастии Петрова и Сидорова. Суд присяжных в ходе слушания пришел к выводу, что следствием доказано следующее:
1) если Иванов не виновен или виновен Петров, то Сидоров виновен;
2) если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен.
Присяжным требуется принять решение, виновен ли Иванов. Достаточно ли у них для этого оснований?
Решение. Обозначим буквой А высказывание "Иванов виновен", буквой В высказывание "Петров виновен", буквой С высказывание "Сидоров виновен". Тогда имеющуюся у присяжных информацию можно записать следующей формулой:
 Составим для нее таблицу истинности. Анализу подлежат те строки, в которых значение составленной нами формулы равно 1. Мы видим, что во всех этих случаях значение А равно 1. Следовательно, Иванов виновен.
А вот для утверждения, что виновен Петров, оснований недостаточно. Ведь значение 1 наша формула может иметь и при ложном. Впрочем, нет оснований и объявить Петрова невиновным. Если для перевода условия задачи на языках математической логики приходится использовать формулы с четырьмя, пятью или еще большим числом переменных, таблица истинности может насчитывать 16, 32 и более строк. Для составления таких таблиц уже полезно применить компьютер.
Вопросы и задания!
1. Обозначьте буквами простые высказывания и воспользуйтесь алгеброй логики, чтобы ответить на вопрос задачи.
Если Джон не встретил этой ночью Смита, то Смит был убийцей или Джон врет. Если Смит не был убийцей, то Джон не встретил Смита этой ночью и убийство произошло после полуночи. Если убийство произошло после полуночи, то Смит был убийцей или Джон лжет. Эксперты утверждают, что убийство произошло до полуночи. Можно ли утверждать, что Смит был убийцей?
2. Внимание Андрея, Дениса и Михаила привлек проехавший мимо них автомобиль.
-Это английская машина марки "феррари", - сказал Андрей.
-Нет, машина итальянская, марки "понтиак", - возразил Денис.
-Это "сааб", и сделан автомобиль не в Англии, - сказал Михаил.
Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из мальчиков прав только в одном случае из двух высказываний. какой марки автомобиль и в какой стране он изготовлен?
3. Обозначьте буквами простые высказывания и воспользуйтесь алгеброй логики, чтобы ответить на вопрос задачи.
Намеченная атака удастся, если захватить противника врасплох или его позиции плохо защищены. Захватить противника врасплох можно, только если он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены. Следует ли из этого, что атака не удастся.
|
Календарь
Калькулятор
Поиск
Друзья сайта
|