Алгебра Логики

Алгебра логики – математический аппарат, с помощью которого записывают, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является английский математик Джорж Буль, в честь которого алгебра логики называется Булевой алгеброй высказываний. Основными объектами логики являются логические высказывания - предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Логический подход заключается в том, что истинность высказывания устанавливается на основе истинности других высказываний, т.е. без обращения к фактам, к содержанию этих высказываний, а чисто формально, с помощью рассуждений. Такой подход основан на выявлении и использовании логических связей между высказываниями, входящими в рассуждение. Анализ различных логических связей и методы построения на их основе правильных логических рассуждений - это и есть предмет логики.

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятие имеет две стороны: содержание и объём. Например, содержание понятия «персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.» Объём понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

Высказывание (суждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов, их свойствах и отношениях между ними. Высказывания могу применять только два значения: Истина (обозначается 1) или Ложь (обозначается 0). Высказывания могут быть Простыми и Составными.

Простое высказывание состоит из одного высказывания и не содержит логической операции.

Клубника растет на деревьях	Ложь	0
Два умножить на два равно четыре	Истина	1

Составное высказывание содержит высказывания, объединенные логическими операциями.

В саду цветут астры и пионы.

И дольше века длится день

Если на улице дождь, то асфальт мокрый.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое высказывание. Например, если мы имеем высказывание «Все углы треугольника равны», то мы можем путём умозаключения доказать, что в этом случае справедливо высказывание «Это треугольник равносторонний».

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Простые высказывания в алгебре логике обозначаются латинскими буквами: A,B,C,D,X,Y,Z.

В качестве основных логических операций в составных логических высказываний используются:

НЕ (логическое отрицание, Инверсия);

ИЛИ (логическое сложение, Дизъюнкция);

И (логическое сложение, Конъюнкция);

Операция "ЕСЛИ-ТО" (логическое следование, Импликация);

Операция "А тога и только тогда, когда В" (Эквивалентность, равнозначность).НЕ (логическое отрицание, Инверсия);

Операция НЕ:

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть простое и составное высказывание.

Обозначение операции НЕ, Ā, not А, ¬ А

Операция ИЛИ:

Выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и составное высказывание.

Обозначения операции: А или В, А or В, А V В.

A	B	АVВ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Операция И:

Выполняет функцию пересечение двух высказываний (аргументов), в качестве которого может быть и простое, и составное высказывание.

Обозначения операции: А и В, А & В, А and В, А Λ В.

A	B	А & В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция Если-То:

Связывает два простых высказывания, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия.

Обозначения операции: если А, то В; А влечет В; if A then B; А -> В; А => В

A	B	Если А, то В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Операция А тогда и только тогда, когда В:

Обозначения операции: А ~ В, А <=> В, А Ξ В

Результат операции эквивалентность истинен тогда и только тогда, когда А и В одновременно истины или ложны.

A	B	А ~ В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Вопросы и задания!

1. Из приведенных ниже предложений выберите высказывания и обоснуйте свой выбор:

-Выхожу один я на дорогу.

-Зачем вы, девушки, красивых любите?

-Если у вас нет собаки, ее не отравит сосед.

-Вот кто-то с горочки спустился.

-Умом Россию не понять.

2. Даны простые высказывания:

A={Процессор – устройство для обработки информации}

B={Сканер – устройство вывода информации}

C={Монитор – устройство ввода информации}

D={Клавиатура – устройство вывода информации}

Определите истинность логических выражений:

(AVB) <=> (C&D);

(A&B) -> (CVD);

(AVB) -> (C&D);

(Ā -> B)&(CVD);

(C <=> Ā)&B&D;

3. Для приведенных ниже высказываний укажите, какие из них истинны и какие ложны:

-Число 3 является делителем любого числа, у которого сумма цифр равна 6.

-Некоторые млекопитающие не живут на суше.

-Демосфен утверждал: "В одну реку нельзя войти дважды".

В начало Далее

Календарь

Калькулятор

Поиск

Друзья сайта

Дискретная математика

Алгебра Логики